位移法的基本概念及典型方程的建立

摘要：针对《结构力学》位移法教学中存在的问题，根据长期的教学经验和体会，分析概括了位移法的基本思路、基本未知量的确定、典型方程的力学含义以及方程中各系数项的计算等基本概念，最后给出了各系数项正负号确定的简单方法，并通过典型算例加以说明。

关键词：位移法 典型方程 杆端力 系数符号

中图分类号：TU311

《结构力学》是土木工程大类下建筑工程、交通土建工程、水利水电工程等各专业的一门主要专业基础课，也是目前研究生入学考试设置的唯一一门专业课，它为后续专业课程如钢筋混凝土结构、砌体结构、钢结构、土力学与地基基础、高层建筑结构设计等提供理论依据和计算方法。力法和位移法是《结构力学》中解决超静定结构计算的两大基本方法。因为力法是把超静定结构转化为熟悉的静定结构计算，和前面的内容具有一致性和继承性，学生容易掌握，但其求解的超静定次数是非常有限的，当超静定次数超过3时，力法虽然理论上可行，但因计算量太大，手算根本无法实现，此时位移法更有优势。位移法在《结构力学》中处于十分重要的地位，适用性广，它是后续力矩分配法的理论依据，也是矩阵位移法的基础，在结构分析及设计中更具实用性，其掌握的好坏直接影响《结构力学》后面内容及后续专业课程的学习。但由于它对结构计算的思路与学生熟悉的静定结构及力法有着本质的不同，全新的概念多，要记忆和理解的形常数和载常数很多，而且与前面内容的交叉不多，所以学生学起来不习惯, 难于掌握，尤其是杆端力及附加约束反力的正负号问题，学生常常出错，而且这部分内容学时少，教材内容编排及符号规定等方面也欠妥，使之成为教学的难点，作者根据长期的教学探索和经验积累，在此谈一下体会，与广大同行分享。

一、位移法的基本思路

位移法把结点位移作为基本未知量，以三类单跨超静定梁（杆件单元）的集合体为基本结构（如图1所示），利用力法可以建立这些杆件单元的杆端力与杆端结点位移以及荷载之间的关系，即等截面直杆的刚度方程，位移法计算中一般直接采用其计算结果，而无需列出繁琐的力法计算过程。位移法把结构的内力计算转化为基本结构在基本未知量及荷载共同作用下的内力计算问题，然后利用叠加法和平衡条件可建立起位移法的典型方程，进一步可计算结点的位移和结构内力。

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（a）两端固定梁

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（b）一端固定一端简支梁

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（c）一端固定一端定向支座梁

图1位移法基本结构中的杆件单元

二、基本未知量及基本结构的确定

位移法把独立的结点位移作为基本未知量，不包括支座结点位移及铰结点转角位移，并忽略杆的轴向变形（链杆除外），这也是位移法和矩阵位移法的本质区别，也就是说，位移法选取了最少的结点位移作为基本未知量，这要根据荷载及结构的变形情况来判断，一般每个刚结点都有一个转角位移，但如果结点连接的杆件中有抗弯刚度的情况时，则该结点的转角位移为0，就不能成为未知量了，线位移的判定可采用附加连杆法或铰接体系法来判断。把所用的结点位移约束住就得到位移法的基本结构，转角位移用转动刚度无穷大的刚臂约束住，线位移用相应的链杆支座约束住，也就是说，基本结构中每个刚臂对应一个转角位移，每个链杆支座对应一个线位移。对于水平或竖直的杆，共线结点沿连线方向的线位移一般相同，但因链杆（只有轴力）的轴向变形不能忽略，共线结点的线位移也不同。如图2所示的结构（a）就有5个转角位移和3个线位移，而结构（b）有4个转角位移和4个线位移，由于中间链杆有轴向变形，两端结点都有独立的竖向位移。

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结构（a）结构（b） 结构（c）

图2 位移法基本未知量及基本结构

特别要指出的是位移法的计算都是针对基本结构的，基本结构是若干杆件单元的集合，每个杆件单元都可视为独立的单跨超静定梁分别计算，杆件单元只有图1所示的三种形式，归根结底，在未知量的确定时一定要使基本结构中每根杆都囊括在图1的三种杆件单元中。值得强调的是图1（c）中的定向支座是指剪切（垂直杆轴）方向的变形不受约束，图2中结构（c）BC杆C端的剪切变形受到一定约束，因而不能套用图1（c）的形常数和载常数，应该把C点的竖向位移也作为未知量，把该杆件单元BC变成两端固定的梁来计算，套用图1（a）的形常数和载常数。

三、典型方程的建立

位移法的基本未知量要通过典型方程求解，典型方程的建立有两种方法，即基本体系法和直接刚度方程法。在位移法的基本结构中人为施加原结构所受荷载及结点位移就成为基本体系，以替代原结构的计算。基本体系法是借助基本结构及基本体系求解的，概念明确，而且和力法的步骤一致，可以实现类比教学，相对容易掌握些，应该优先讲授该方法。直接刚度法可以简化位移法的计算步骤，但其每个杆端力的计算都要是针对基本结构中的杆件单元（图1所示）进行，而且基本结构是隐式的，如果不讲清基本结构的概念学生根本就无法理解。基本体系法中才强调基本结构的概念，而且要显式地表现出来，因而在教材内容及讲授顺序编排时基本体系法应该在先，直接刚度方程法在后，学时不够也可略去此部分内容。

在基本体系法和直接刚度方程法中，典型方程的表面含义略有不同，基本体系法是消除基本体系与原结构的差别（原结构无附加约束）而补充的附加约束反力为零的条件，典型方程的右端恒为零，典型方程中每个系数都是基本结构在单位基本未知量或荷载单独作用下产生的附加约束上的反力，基本体系的内力及变形可看成是各种因素单独作用的叠加，有了典型方程的约束条件，就实现了基本体系与原结构最终等价。直接刚度方程法利用等截面直杆的刚度方程直接列出各个基本结构单元在各种因素共同作用下的杆端内力，典型方程是以结点为隔离体的力矩平衡方程，或以杆件为隔离体的力的投影方程。而且基本体系法中各系数计算时也要取相同的隔离体及平衡条件。两种方法给出的典型方程是相同的，其实质都是力的平衡条件。在基本未知量确定时及各系数项的计算中，始终满足变形协调条件，典型方程就是补充力的平衡条件，在这两个条件下就可以求得结点位移及结构的内力。

图3位移法的基本体系

如计算图3所示原结构的内力，位移法的基本体系及基本结构如图所示，基本体系可以视为基本结构在荷载及△1、△2分别作用的叠加，典型方程就是要消除基本体系与原结构的差别：

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四、典型方程中各系数项及符号的确定

典型方程中的各系数项要根据基本结构在荷载或单位基本未知量作用下的杆端力及平衡条件确定，在一定的习题训练后，形常数及载常数的值学生是完全可以记忆的，但符号要根据具体受力及变形情况来确定，这是学生最困惑也最容易出错的地方，人为强制规定正负号是缺乏依据也是不可取的，尤其是杆件受力及结点的受力会存在作用力与反作用力，方向相反，往往会得到错误的判断，从而导致后续计算的错误，教材中关于这方面的描述也容易让人混淆不清，文献[2]给出了一种便捷的计算方法，但概念型不强，依然无法解决符号问题。这时需要老师给予正确的诱导和分析，让学生熟练判断每个杆端力及附加约束反力的正确方向。通过观察发现这一点是很容易做到的，只要强调：每根杆在杆端位移作用下，与该杆端位移对应的杆端力一定是同方向的，杆端弯矩和剪力总是相互平衡的，根据平衡条件可以判定其它杆端力的方向。这就需要在我们在设定基本未知量的同时假定位移的方向，并且在基本体系中明确标定。

如图3的基本体系中就假定位移△1为顺时针方向，△2为向右方向，相当于设定了结点位移及杆端力的正向。在计算中，如果结点位移或附加约束上反力与假定的位移方向一致即为正，反之为负。先确定各杆件单元在荷载及单位基本未知量的作用下的杆端力及方向，为求附加约束上的反力还要确定结点或杆件隔离体的受力，无论是杆件单元还是其它的隔离体，相对于切开截面，剪力的转动方向是不会改变的，弯矩作用的受拉侧（转动箭头的尾部位置）也不会改变，求此可以正确给出隔离体的受力，利用平衡条件即可求出附加约束上的反力，与设定的位移方向一致即为正，反之为负。

图3所示的基本结构在荷载作用下， AC杆相当于两端固定梁受跨中集中力作用，杆端力如图4所示，C端的弯矩为左侧受拉，剪力为逆时针方向，因而在C结点及CD杆的受力图中，C端的弯矩依然保持左端受拉，剪力也依然保持逆时针方向，附加约束上的反力要平衡隔离体的受力，根据结点C的力矩平衡条件，可知F1P=PL/8（顺时针方向），根据CD杆受力的水平投影方程，可求得F2P=-P/2（方向向左）。

图3所示的基本结构在△1=1（顺时针）作用下，与C结点相连的杆端弯矩一定都是顺时针方向的，如图5所示，则CA单元C端的弯矩为左侧受拉，剪力为逆时针方向；CD单元C端的弯矩为下侧受拉，剪力也为逆时针方向。因而在C结点及CD杆的受力图中，CA端的弯矩依然保持左端受拉，CD端的弯矩为下侧受拉，剪力绕着切开截面都保持逆时针方向，根据结点C及CD杆平衡条件，可得k11=4i+3i=7i（顺时针），k21=-6i/l（向左）。

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图4荷载作用下的杆端力及隔离体受力■

图5作用下的杆端力及隔离体受力

图3所示的基本结构在△2=1（向右）作用下， AC和BD单元顶部都有水平侧移作用，与该位移对应的杆端（AC杆C端、BD杆D端）剪力一定是向右方向（顺时针）的，如图6所示。根据杆件的力矩平衡条件，AC杆的C端弯矩为逆时针方向，即右侧受拉，BD杆D端为铰点，弯矩为零。因而在C结点及CD杆的受力图中，C端的弯矩依然保持右端受拉，剪力也依然保持顺时针方向，根据平衡条件，k21=-6i/l（逆时针），k22=6i/l+3i/l=9i/l （向右）。

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图6作用下的杆端力及隔离体受力

值得注意的是，主系数kii总是正数，而副系数kij及自由项kiP正负都有可能，根据反力互等定理，副系数kiJ=kii，可以只计算一个，这样可以简化计算。如图3结构的位移法典型方程中，k12为力矩，计算更容易些，应优先计算，而k21 为水平力，必须根据杆端弯矩求出杆端剪力后才能计算。

参考文献：

[1] 龙驭球、包世华，《结构力学基本教程》[M]，高等教育出版社，2008

[2] 路玉敏，《求位移法典型方程系数的一种便捷方法》[J]，《青岛建筑工程学院学报》，1998

作者简介：李秀梅，女，辽宁葫芦岛人，博士，副教授，从事结构力学教学及结构计算方法研究。

项目资助：广西自治区级精品课程建设项目-结构力学（B10）

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