概率逻辑关系柔性化的研究

摘要：结合概率和逻辑的优点，近年来人工智能研究人员提出了多种概率逻辑来解决不确定性问题，但是仍然存在着逻辑关系刚性化的问题。在泛逻辑学的框架内，分析了概率逻辑的局限，根据泛逻辑学的生成器，探讨了概率逻辑关系柔性化的问题。

关键词：概率逻辑；泛逻辑；柔性化

中图分类号：TP18 文献标识码：A文章编号：1009-3044(2007)06-11707-03

1 引言

基于模型的不确定推理在语义上把不确定性看成一种状态或可能世界的子集。长期以来，概率论的有关理论和方法都被用作度量不确定性的重要手段[1,2]，因为它不仅有完善的理论，而且还为不确定性的合成与传递提供了现成的公式。但是概率论所要求的大量统计数据难以获得，因而纯概率方法的使用受到限制。为了适应专家系统性能的不断提高，研究者不得不放弃问题求解的逻辑完备性，对专家的启发式知识给出相对精确的度量。

而逻辑的长处在于知识表示上，其主要目的就是推理，将概率与逻辑有机结合，实现逻辑框架内的概率逻辑不确定推理，能够推动人工智能基础理论的发展。目前概率逻辑的研究多是基于两个可能世界子集，但也有研究者考虑在三个可能世界子集上进行研究。

Nilsson基于概率分布的最大熵原则提出的一种表示不确定推理的概率逻辑模型[3]，该模型的概率逻辑空间可用一个四元组(?祝,?赘,?装,P)来表示。其中，?祝是经典逻辑中的命题集，?赘是?祝的相容真值指派域，?装是?祝上的概率逻辑真值分布，P是?赘上的一个概率分布。它们之间的关系可用矩阵表示为?装=VP，该矩阵表示形式实际上是一个非线性方程组。Nilsson概率逻辑的研究是基于两个可能世界子集，齐桂林将Nilsson的概率逻辑进行了扩展，其概率逻辑的研究是基于三个可能世界子集[4]。虽然还有许多研究者提出其它类型的概率逻辑，但是概率逻辑关系刚性化的问题依然没有得到很好的解决。

2 概率逻辑及其局限

在基于σ代数的标准概率论中，概率是定义在标准概率空间(?赘,B,P)上的。其中?赘是样本空间，B是随机事件的命题集，P是?赘上的一个概率分布。对于任意一个事件a∈B，规定一个实数，记作P(a)，如果P(·)满足以下三条公理，那么就称P(a)为事件a的概率。

公理1非负性：P(a)≥0

公理2规范性：P(W)=1

公理3可列可加性：如果ai∧aj是逻辑假(i,j=1,2,…)，则P(a1∨a2∨…)=P(a1)+P(a2)+……

在这个公理系统下，先验概率函数的基本性质包括：

条件概率是一个二元函数，在常见的概率逻辑模型中，它是通过两个先验概率函数的商的形式给出的：

P(a|b)=P(a∧b)/P(b)当P(b)≠0

且P(a|b)=1当P(b)=0

概率逻辑系统一般都是给出了与经典逻辑对应的三个独立算子?劭、∧、∨，但对经典逻辑中的蕴涵算子→却未明确定义，而是通过条件概率来处理的。从泛逻辑学的角度分析命题概率逻辑算子的定义，可以发现他们存在以下主要问题[5,6]：

（1）所有概率逻辑算子均未考虑广义相关性的影响，仅是广义相关系数h=0.75时的一种特例，他们所表示的概率逻辑关系都是刚性化的。实际上，这些算子都可能会受到广义相关性的影响，都应该存在着广义相关性下的关系柔性;

（2）条件概率P(a|b)的定义仅在h=0.75时成立，即要求a与b独立相关，否则其运算模型会出现偏差;

（3）条件概率P(a|b)在P(b)>0时，其值仅与aùb、b有关，只要P(a|b)与P(b)的比值不变，a的变化不会影响条件概率P(a|b)的值，这显然是不合理的;

（4）条件概率P(a|b)不应该是一个常数，但在推理中却往往被看作是一个常数，这就隐含了一个前提条件，即当a与b变化时，P(a|b)和P(b)必须等比例变化，否则会出现问题;

（5）条件概率的表示与逻辑表示不一致，在概率空间中无法给出一种与P(a|b)相一致的P(a→b)的定义，即无法进行条件推理。我们知道，二值逻辑的逻辑蕴涵→是一个重要的推理规则，但在概率逻辑中，却不能用P(a→b)对P(a|b)进行度量。事实上，可以证明P(a→b) 3P(a|b)，其中的等号当且仅当P(b)=1或P(a|b)=1时才成立。

上述问题的存在严重影响了概率逻辑的应用，分析这些问题的原因，可以发现其中大多数都与广义相关性有关，因此解决上述问题的一个重要途径是在概率命题逻辑中引入广义相关性的概念，根据泛逻辑学的相关规则，来弥补上述缺陷。

3 概率逻辑关系柔性化的方法

泛逻辑学提出了目前所有存在的各类逻辑的共同特征，同时提供了一个逻辑生成器[7]，通过运用各种规则，可以构造出满足某种需要的具体逻辑，泛逻辑学的开放性就在于其逻辑体系允许有新的逻辑体系加入其中，必要时允许对其体系结构进行扩充和完善，其基础就是泛命题连接词的生成规则。在泛逻辑学中，k=0.5属零级不确定性问题，因此可用其零级N/T/S泛数完整簇来构造柔性的概率逻辑算子函数。

（1）基空间的变换

概率逻辑的真值空间是[0,1]，没有无定义形式，也没有附加条件。它的真值空间与泛逻辑学的标准基空间一致，故不需要作空间变换。

（2）拓序规则

对于概率逻辑不需要进行拓序规则。

（3）生成元规则

模型只能在k=0.5、h=0.5的理想世界里处理现实世界中的实际问题，必须先用生成元把它变化到理想世界，经过基模型处理后，再变换到现实世界中。将生成元完整簇(generator complete cluster)作用到各种生成基上，就得到了基空间[0,1]上的各种命题连接词的运算模型。

由于x∈[0,1]，k=0.5，表明没有误差，h∈[0.5,1]是相生相关，满足相容定律：

T(x,y,h,k)+S(x,y,h,k)=x+y

因此生成元完整簇采用受广义相关性系数h对命题之间关系影响的T性生成元完整簇或S性生成元完整簇；

当k=0.5，h≠0.5时，所有二元泛逻辑运算都要偏离它的中心运算模型，因此需要在基模型的基础上用特殊的广义相关性修正函数完整簇ψ(x,h)来双向修正其影响，修正的基本思想是：

设m(X)=x，m(Y)=y，m(Z)=z是没有误差的模糊测度，L(x,y,0.5,h)是某一命题连接词的基模型，则

ψ(L(x,y,0.5,h),h)=L(ψ(x,0.5,h),ψ(y,0.5,h),0.5)

L(x,y,0.5,h)=ψ-1(L(ψ(x,0.5,h),ψ(y,0.5,h),0.5,h),0.5,h)

其中ψ(x,0.5,h)簇是泛逻辑中各种二元运算模型的零级生成元完整簇。

生成元完整簇不同，基模型的表达式形式也不同，但它们联合生成的零级泛逻辑运算模型是等价的。所以我们仅讨论由零级N/T完整簇构造的概率逻辑算子，用中心与运算基模型max(0,x+y-1)确定T性生成元完整簇F(x, h)，生成零级与运算模型，利用中心非运算和零级与运算模型直接定义其他零级二元运算模型。

指数型N性生成元完整簇为：

用于修正受广义相关性h影响的指数型零级T性生成元完整簇：

F(x,h)=xmm=(3-4h)/(4h(1-h)),h∈[0,1]

（4）生成基规则

每个命题连接词都有自己的生成基，它是在[0,1]内，在命题的真值没有误差k=0.5，且命题之间的相关性是最大相斥时h=0.5，该命题连接词的运算模型，称为基模型(base model)。如下所示：

泛非运算基模型N(x,0.5)=N1=1-x

泛与运算基模型T(x,y,0.5,0.5)=T1=max(0,x+y-1)

（5）生成概率逻辑算子

由于概率逻辑在k=0.5，h∈[0.5,1]时，n=1，因此有：

N性生成元： ?椎(x,0.5)=x

零级T性生成元完整簇：F(x,h)=xm即F-1(x,h)=x1/m

所以纯指数模型为：

1）非运算模型 N(x,k)=N(x,0.5)=1-x=N1

2）与运算模型

T(x,y,h,k)=T(x,y,h,0.5)=F-1(max(F(0,h,0.5),F(x,h,0.5)+F(y,h,0.5)-1),h,0.5)=(max(0,xm+ym-1))1/m

3）或运算模型

s(x,y,h,k)=S(x,y,h,0.5)=N(T(N(x,0.5)),N(y,0.5),h,0.5),0.5)=N(F-1(max(F(0,h,0.5),F(x,h,0.5)+F(y,h,0.5)-1),h,0.5),0.5)=1-(max(0,(1-x)m+(1-y)m-1))1/m

4）蕴涵运算模型

I(x,y,h,k)=max(z｜y≥T(x,z,h,0.5))=F-1(min1+F(0,h,0.5),1-F(x,h,0.5)+F(y,h,0.5)),h,0.5)=(min(1,1-xm+ym))1/m

5）等价运算模型

Q(x,y,h,k)=T(l(x,y,h,0.5),l(y,x,h,0.5),h,0.5)=F-1(1±｜F(x,h,0.5)-F(y,h,0.5)｜,h,0.5)=(1±｜xm-ym｜) 1/m(h>0.75为+,否则为-)

6）条件概率运算模型

P(a｜b)=P(a∧b)/P(b)=(max(0,xm+ym-1))1/m/y

可以看出，概率逻辑算子实际上等同于：通过泛逻辑在广义自相关系数k=0.5，广义相关系数h∈[0.5,1]的情况下，生成的一组具体的运算模型。

特别地，当k=0.5，h=0.75时，根据生成元完整簇的定义，有F(x,h)=1-lnx，F-1(x,h)=exp(1-x)，为概率算子对：

概率非运算N(x,k)=N(x,0.5)=1-x=N1

概率与运算T(x,y,h,k)=T(x,y,0.75,0.5)=T2=xy

概率或运算S(x,y,h,k)=S(x,y,0.75,0.5)=S2=x+y-xy

概率蕴涵运算I(x,y,h,k)=I(x,y,0.75,0.5)=I2=min(1,y/x)

概率等价运算Q(x,y,h,k)=Q(x,y,0.75,0.5)=Q2=min(x/y,y/x)

条件概率运算 P(a｜b)=P(a∧b)/P(b)=x*y/y=x（满足独立性公式）

由此可以看出，泛逻辑学的生成器，可以根据实际的需要，生成算子簇。当所研究命题的广义自相关性和广义相关性给出后，就可以根据生成元规则和生成基规则，生成具体的算子。因此命题泛逻辑的开放性，能够统一大部分的算子模型，使得我们更加清楚的认识到逻辑规律。

4 结束语

泛逻辑学研究的最终目标是建立一个具有最大包容性的抽象逻辑学，它的内核是数理逻辑，各种柔性逻辑都是它的一个特例。通过在泛逻辑学框架内对概率逻辑及其局限性的分析，我们发现逻辑关系刚性化是以往概率逻辑研究中所忽视的一个问题。根据泛逻辑学的生成器，并结合概率逻辑实际研究的真值空间，基于零级N/T范数完整簇构造的概率逻辑算子，初步研究表明，新概率逻辑是能够避免以往概率逻辑的局限性。

参考文献：

[1]石纯一等．人工智能原理[M]．北京:清华大学出版社,1993:82-145.

[2]陆汝钤．人工智能(下册)[M]．北京:科学出版社,1996:552-574.

[3]Nilsson N J. Probability logic[J]. Artificial Intelligence ,1986, 28,71－87.

[4]Guilin Qi. Probabilistic Inference on Three－Valued Logic[J].Berlin,RSFDGrC,2003,LNAI 2539:690-693.

[5]王万森，何华灿．基于泛逻辑学的柔性命题逻辑研究[J].小型微型计算机系统．2004.Vol.25 No.12:2116-2119.

[6]王万森，何华灿．基于泛逻辑学的逻辑关系柔性化研究[J].软件学报．2005.Vol.16 No.5:754-760.

[7]何华灿等著．泛逻辑学原理[M]．北京：科学出版社，2001.

[8]许海洋，王万森．人工智能中泛逻辑学的研究[J].计算机应用研究．2005. No.10:13-15.

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