数学史的教育魅力

英国著名哲学家弗朗西斯·培根《论读书》中说过：“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻。”数学与历史的完美结合便是数学史！每一行都有自己的文化，数学的文化便是数学史！教师在数学教学过程中，不仅要对数学知识了如指掌，还要对数学知识的来龙去脉 、前世今生有一定的了解，传授数学知识的同时，把一些重要的数学史介绍给学生，使学生掌握数学发展的基本规律，体会数学发展的曲折，感受数学家所经历的艰苦漫长道路。记得笔者小学一年级的时候，无法正确区分“0，1，2，…，9”和“一，二……九”，只能说“一，二……九”是“语文数字”，“0，1，2 ，…，9”是“数学数字”，根本不知道那叫“阿拉伯数字”，直到四年级的时候，有一次从别班窗口走过时，听到教室里老师说那是阿拉伯数字。现在回想起来，当时知识是多么残缺，多么苍白！数学史对学生了解数学知识的始末是何等重要！数学课堂要适时涉及数学史知识！

一、辉煌灿烂的中国数学

中国数学史能使学生了解数学发展的基本过程和来源，加强知识的理解，增强求知欲，培养爱国情操。原始时代，“上古结绳而之人，后世圣人易之以书契”标志着数的产生。河图洛书画的八卦实际上是最早的二进制。18世纪德国数学家莱布尼茨创立二进制时就是受八卦的启发，他承认自己只不过是重新发现了中国古代数学中的秘密而已。 我国自有文字记载以来，一直是按十进制记数的，被马克思誉为“世界上最妙的发明之一”。比印度使用十进制要早一千多年！靠移动算筹进行运算，取得了辉煌的成就，赢得了中华民族素以计算见长的美誉。

开平方是一种非常重要的运算，其难度远超过四则运算和乘方。《九章算术》详细说明了开平方的方法、步骤，尤其可贵的是采用数形结合的方法，是数学史上首次的十进制的开平方法则，刘徽作了几何解释，并给出了彩色图解。魏晋时代（263年左右）数学家刘徽在我国数学上作出了杰出贡献：①倍边公式：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，显示了刘徽采用超越时代的极限方法来解决圆面积的计算问题，与牛顿—莱布尼茨创立的积分法的思想一致。②刘徽不等式 ： 为了求出π的近似值，并估计误差的大小，刘徽用很巧妙的方法导出了一个有用的不等式——刘徽不等式。刘徽所采用的方法与1500多年以后德国数学家维尔斯特拉斯（1815—1897）提出的“单调数列必有极限”定理是完全一致的。③提出无理数“面”：只能求得近似值而求不出准确值的“不可得而定”之数叫做“面”。④刘徽定理，刘祖等幂等积定理。圆周率π：3.1415926 < π<3.1415927， 密率 π≈355/113，是当时世界上最好的结果，并保持了一千多年无人能及。 英国李约瑟在《中国科学技术史》中称：祖冲之的密率是一个非凡的成就。在所有分母不超过16586的分数中和π最接近的分数是355/113，凸显了“鸡刀宰牛”的非凡之功。 《九章算术》的“今有术”是我国古代数学的比例运算，印度在公元6世纪出现了三率法，相当于我国今有术中的所有率，所有数，所求率，16世纪传入欧洲，深受商人欢迎，被誉为“黄金法则”，今有术是我国数学史中“生金蛋的母鸡”。

唐代张遂（僧一行）（683—727）创作了正切函数表，发明未知函数“二次不等距插值法”，比牛顿发明了同样方法早了千年。北宋沈括（1031—1095）在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，创作了中国等差级数问题研究的先河。南宋秦九韶（1208—1261）提出举世闻名的“大衍求一术”，世界数学界称之为“中国剩余定理”。1261年杨辉（生平不详）提出“杨辉三角”，比法国数学家帕斯卡发明的帕斯卡矩阵早400年，而直到1664年牛顿才提出“二项式定理”。（他们的本质相同）。珠算一代宗师——明朝程大位（1533—1606）的著作《算法统宗》。另外，现代数学家有陈省身、华罗庚、苏步青、丘成桐（1983年获菲尔兹奖——数学的诺贝尔奖），陈景润（提出1+2的陈氏定理），吴文俊等。可见，中国的数学史是多么的辉煌，非常值得我们学习、深追！

二、他山之石可以攻玉

汲取另外“半边天”的营养，丰富数学各分支知识，更进一步理解数学家如何一点一滴获得成果，培养顽强的学习勇气，陶冶审美情操。

阿基米德（B.C.287—B.C.212）是古希腊数学家、力学家。在《圆的度量》中用穷竭法和反证法推导出圆的面积公式：圆的面积等于圆周长与圆半径之积的一半，且 ，在名著《球与圆柱》中提出重要的“阿基米德的2/3定理”，球的面积为4πr2，体积为4/3πr3 ，r是球的半径，求体积时比牛顿早两千多年用了“分割—求和—取极限”的积分思想，大作家伏尔泰说：“阿基米德头脑里的想象力比河马头脑里的要多。”现代数学史家M·克莱因评价道：“阿基米德作品中的严密性比牛顿与莱布尼茨著作中的高明得多。”

法国数学家笛卡尔（1596—1650）创立了坐标系，把数与形结合起来，大作《几何学》的出炉标志着划时代的解析几何的诞生！用代数的方法解决了许多几何问题，含著名的“五线一点问题”（此问题在笛卡尔之前悬挂了1200年之久），首次用英文前面的字母a、b、c等表示已知数，用后面的字母x、y、z表示未知数。笛卡尔敏感好奇，善于独立思考，专心致志，温良合善，不迷信权威。他死后，墓碑上镌刻着对他的公正评价：“笛卡尔——文艺复兴以来，为人类争取并保证理性权利的第一人。”

法国业余数学家之王费马（1601—1665）从另外出发点独立于笛卡尔（从不定方程画几何图示）发明了解析几何。在数论方面也成绩斐然，如1637年提出举世瞩目的费马大定理：对于正整数n>3，方程均xn+yn=zn没有正整数解（x，y，z），直到1995年5月被英国数学家怀尔斯用反证法证明了，期间悬滞了358年之久。

英国科学家伊萨克·牛顿（1643—1727）基于力学和德国哲学家、数学家莱布尼茨（1646—1716）基于几何，两人独立完成，提出微积分。微积分的创立使数学进入了新的发展阶段。1687年牛顿出版了科学巨著《自然哲学的数学原理》被爱因斯坦誉为“无比辉煌的演绎成就”。全书以微积分为工具，证明了行星运动（开普勒）三大定律、万有引力定律等极其重要的自然科学定律，把微积分也应用于流体力学，声学，光学，潮汐和宇宙体系。牛顿废寝忘食，专心于科学的故事有“苹果落地”“煮表代蛋”“忘了和女友约会”“看见饭桌上别人啃的骨头就说自己已经吃过饭”等，牛顿不修边幅，不贪图享乐，终身未娶。

德国数学家高斯（1777—1855）是著名神童，是证明“中国剩余定理”的第一人，是非欧几何的创立者。高斯在数论、代数、几何以及几乎所有的近代数学中都有建树，被誉为“数学王子”。1801年，高斯成功计算出太阳系里的最小行星——古神星的位置，名声大振。高斯为人严肃沉稳，简朴认真，一生只公开发表155篇论著，遵守他的格言：“宁肯少些，也要好些。”他是数学史上一个转折时期的杰出代表，起着承上启下的作用。

另外，还有许多著名数学家，如伯努利家族、韦达、柯西、阿贝尔、伽罗瓦、康托、庞加莱、戴德金、罗巴切夫斯基、黎曼、罗素等都对数学作出了巨大的贡献！入选“影响世界的100位名人”有：祖冲之、笛卡尔和牛顿。

三、数学家动人的生平故事

数学家的故事可以活跃课堂气氛，增强学生的学习兴趣，使之接受熏陶，体会数学家创作的艰辛，从而培养学生的坚强意志。

1.祖家父子——我国南北朝著名数学家

祖冲之（429—500），祖籍为现在的河北省涞源，出生于建康（今江苏南京）的官宦家庭。其祖父祖昌任大匠卿，其父是朝廷文官，祖冲之自幼对天文学和数学就产生了浓厚兴趣，家庭环境潜移默化，塑造了他“专攻数术，搜拣古今”，但绝不“虚推古人”，他“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”，这种精神非常值得学习！在刘徽用割圆术求出π=3.1416的基础上，祖冲之为了得到更为精确的π值，在家里的院子里画了一个直径为一丈的圆，把圆等分为24576等份，这工作量非常巨大，如当12288等分时，每条边的长度是0.00025566丈，在直径一丈的圆上需要用针尖才能画出来！他利用递推公式和刘徽不等式，经过几年非常辛苦的细心运算，最后得到π的取值范围3.1415926<π<3.1415927（《隋书·律历志》：宋末，南徐州从事使祖冲之，更开密法，以圆径一忆为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。），此结果收集在《缀术》中，比欧洲领先了九百多年！

祖冲之提出“以旧章法，十九岁七闰，闰数为多，经二百年辄差一日，节闰既移，则应改之”，他实测地球绕太阳转一周是 天，月球绕地球转一周是 天，可以算出一年有多少个月：即

这计算很繁难，祖冲之最后确定为391年144闰，可以体会到我们前辈在计算方面所取得的成就是何等巨大呀！

祖冲之33岁时制定了《大明历》希望国家能采用，但直到去世亦未能如愿。其子祖暅继承父亲遗志，通过两代人的努力，终于在祖冲之去世后第10年这部历法得以正式颁布。祖冲之作为地方官员，亲自设计了指南车、快船，通晓音律，是位多才多艺的科学家。

祖暅（5—6世纪）在刘徽“牟合方盖”体积比的基础上，求出V牟=16/3r3，V球=4/3πr3，方法十分简捷精彩，令人叹为观止！还发现了“等幂等积定理”即两块立体被任意水平平面所截，若截得的平面（幂）相等，则两立体体积相等，该定理是积分学原理。祖氏父子为数学前仆后继，勇往直前，是我国数学史上非常光辉的一页！

2.高产的欧拉

里昂纳德·欧拉（1707—1783）生于瑞士巴塞尔的一个手工业工匠家庭，其父是他的数学启蒙老师，其母善良贤惠，少年欧拉在家乡充分见识了工匠和农民们的灵巧和辛苦，养成能长期吃苦耐劳的品质和灵气。13岁时以第一名的成绩进了巴塞尔大学，17岁获得硕士学位，18岁时以数学家的身份进行研究，19岁开始发表论文（船的桅杆），1731年，24岁任物理学教授，1733年任数学教授，1741年至1766年，分别在普鲁士、英国、法国、俄国国家科学院工作。事业一帆风顺的欧拉厄运也不断发生：1735年右眼失明，1771年左眼也失明，他在最后12年里完全在黑暗中度过，1771年的一场大火使欧拉的财产付之一炬，只抢救出欧拉和他的部分手稿。尽管双目失明，欧拉也不忘孜孜不倦地工作，成果也不亚于以前，完成了一些书和400篇研究文章，凭他惊人的记忆和心算能力再口述，由子女们笔录完成。他能背出许多三角分析的公式和前100个质数的前六次幂，有一次，为了检验自己学生的一个含有50位数字的运算结果，欧拉对整个运算过程进行了心算，最终找到了错误。

1640年费马断言形如，Fn=22 +1，n=0，1，2……永远是素数，1732年欧拉证明了F5=641×6700417是合数，不是素数，现代人即使使用计算机，其工作量也大得惊人！欧拉四次幂问题，如635318657=1584+594=1344+1334。

欧拉的惊人成果：欧拉公式eiπ=cosx+isinx、欧拉函数、欧拉角、三角形欧拉线、多面体欧拉公式v-ε+ψ=2，摩擦力跟绳索在桩上的圈数：F=feka，开创了崭新的学科——图论等，是众多数学分支上当之无愧的奠基人之一，在力学、天文学、物理学都有极其重要的贡献，为人类留下886篇创造性论文，是至今最高产的科学家，其次是柯西，被誉为“数学界的莎士比亚”！

欧拉专家费尔曼分析欧拉有如此巨大的成就的原因：①惊人的记忆力；②罕见的聚精会神的能力；③孜孜不倦！人们给欧拉的悼词是：欧拉停止了生命，也停止了计算。我们当代人应该以欧拉为典范，拒绝庸俗和轻浮，提升自身道德学问比重，做一名对社会有贡献的人。

四、数学史教育的建议

（1）教师应该有广博的知识，不仅仅是数学知识，还应有历史、政治、地理、英语、天文、物理等多学科知识，只有这样上课才会得心应手，应用自如，活跃课堂气氛，掌控节奏。

（2）数学史的知识因地制宜地穿插在课堂中，不能喧宾夺主，不能影响正常的教学内容，防止本末倒置。

（3）数学史教育过程中应该用辩证的观点，不分中外，不分古今，数学各知识是数学家长期共同努力推出的产物，不带个人色彩，博采众长，全面发展。

（4）渗透数学家的高贵人格情操，孜孜不倦的“狼性精神”，实事求是的态度，能够接受失败和挫折，不断成熟自我，突破自我，创造自我。刘徽在计算牟合方盖体积未成功时，不失大家风范，谦逊而诚恳地直言：“欲陋形措意，惧失正理；敢不阙疑，以倚能者言。”

法国数学家亨利·庞加莱（1854—1912）说：“如果我们想预测数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状。”数学文化——数学史有助于学生了解数学知识的始末，有助于理解、掌握知识创造的方法、技巧，有助于接受数学家高尚人格的熏陶，从而奋发向前！

参考文献：

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