应用力学原理分析沙漏重量随时间变化关系

摘 要：沙漏中沙子下落时，沙漏的重量并不是保持不变的，通过观察实验现象可将该过程分为六个阶段。本研究主要利用微元法、牛顿定律、动量守恒定律对实验现象进行理论分析，最终分析出每个阶段沙漏重量的变化原因。

关键词：沙漏；重量；超重与失重；微元法

沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置，它由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成的。通过充满了沙子的玻璃球从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃球所需要的时间来对时间进行测量。但沙漏在运行时的重量却不是保持不变的，沙子正在下落的部分使其变轻，而沙子对底部的撞击却会使其变重，本文将对此问题展开研究，详细解释沙漏工作过程中其重量变化的问题。

1 理论分析

当沙漏工作时沙子会从上部的锥形瓶通过狭窄的通道进入下部的锥形瓶，可按照其工作顺序逐步将其分解为六个阶段，除此以外，为了对沙漏工作时的重量和时间的关系进行分析，建立以下三点假设：（1）沙子的体积相较于锥形瓶的体积足够小。（2）沙子落入下部锥形瓶后将均匀分散于底部，即忽略其形成的锥形沙堆的影响。（3）沙子下落的初速度为零，且沙子下落时均匀连续。

用M表示整个沙漏的质量，D和H分别表示沙漏中间部位的直径和到底部的高度，ρ表示沙子的密度T表示沙子下落的时间，Fi表示第i阶段沙漏重量。

1.1 第一阶段与第二阶段

第二阶段是沙漏开始工作，沙子刚好开始下落，但没有落到底部的过程。此时可将下落的沙子看作是下落的圆柱。设沙子经过时间T=t1落到底部，沙子末端下落的速度为u，下落过程中沙子的质量为m。则根据牛顿第二定律可以求出

所以当下落时间为t时，有质量为m的沙子处于完全失重的状态，此时沙漏整体的重量为

可以看出第二阶段沙漏的重量小于静止时候的重量，且随着时间的增加会不断减小。

1.2 第三阶段与第四阶段

第三阶段是从沙子接触到漏斗底部到这部分刚接触底部的沙子速度变为零的过程。当沙子刚好接触漏斗底部时，时间为t1，用F2end表示第二阶段末尾时沙漏重量，将（2）带入（7）中得

由于第三阶段时间极短，所以可将第三阶段看作是沙漏重量突变的过程，沙漏重量由小于Mg突变到大于Mg。

第四阶段则是从“第一批”落到底部的沙子速度变为零的时刻开始到沙漏上半部沙子全部漏出去的时刻。由于第四阶段沙漏所处的状态与第三阶段末尾时刻沙漏所处状态相同，所以

此阶段沙漏重量为常数，保持不变且大于沙漏静止时重量。沙漏工作时大部分时间处于第四阶段。

1.3 第五阶段与第六阶段

第五阶段是从沙漏上半部分沙子刚好完全流出，到沙子全部都落到底部速度减为零的过程。这个阶段沙漏的重量同第四阶段相比，不同之处在于处于下落过程中的沙子在随时间减少。即与第二阶段正好相反（此阶段越来越多的沙子处于失重状态），沙子逐渐落到底部，处于失重状态的沙子逐渐减少，由于下落失去的重量又“回来了”，且重量“恢复”的速率与第二阶段重量减少的速率相同。此时沙漏的重量F5即为第四阶段重量加上逐渐恢复的重量。用t2表示第五阶段开始的时刻，则恢复的重量为

第六阶段即为沙漏中沙子全部到达底部之后的阶段，此时沙漏处于静止状态，重量

2 实验与讨论

沙漏中沙子落下后，会在底部形成一个“沙堆”，后续沙子下落的高度会逐渐减小，且沙子落下后会从“沙堆”上滚落，速度并不會立即变为零，这将会对实验带来一些误差，所以为了尽可能使实验趋于理想情况，制做了一个可以调节高度的沙漏，如图5。实验时将沙漏高度调到最大，漏沙口距离沙漏底部13.97cm，增大沙子落下的速率，以此减小“沙堆”对实验产生的影响。实验时是用密度为2.17g/cm3的食用盐来代替沙子，沙漏（不含食盐）的总重为36.0g。

由于沙漏重量的变化不是很大，即使对于一个很大的120厘米高的装置，在10秒钟内排空，重量的最大变化也只有49毫克[1]。所以不能用通常的物理实验室设备测量。因此使用更精密的分析天平来测量沙漏的重量，开始称重之前，将分析天平与电脑连接，通过超级终端将动态的沙漏重量导入到电脑中。实验开始时将139.7g的食用盐装入装置中，将沙漏放好后，打开沙漏的漏沙口，让沙漏自由工作，沙漏完全静止后停止称重，将称得的沙漏重量数据绘制成图，得到沙漏工作过程中实际重量的变化曲线（图4右）。再将实验过程中的相关参数带入上述理论分析得到的结论中，用绘图软件绘制了沙漏重量变化的理想曲线。通过实验曲线与理想曲线的对比，可以看出，实际沙漏工作时重量的变化与理论分析得到的沙漏重量变化拟合良好，验证出上述理论分析正确。

参考文献：

[1]Kezerashvili RY.Sapozhnikov A. Magic Fountain [EO/OL].http：//www.mss.cbi.fau.de/content/uploads/Gewicht-Sanduhr.pdf.2017，12，23

[2]Fokke Tuinstra，Bouke F. Tuinstra .The Weight OfAnHour[EO/OL].https：//www.europhysicsnews.org/articles/epn/pdf/2010/03/epn2010413p25.pdf.2017，12，23

[3]方华基，范俊明.沙漏超重和失重的数字化实验研究[J].物理教学2013（7）：84-87

[4]李霖渊，胡林，许峰，张忠政，曲东升，张兴刚，孔维姝.沙漏计时原理二维数值模拟[J].大学物，2008，27（9）：47-50

作者简介：

王徽（1997-），男，内蒙古太仆寺旗，大连理工大学，本科在读，土木工程；

石杰洋（1998-），男，重庆市潼南县，大连理工大学，本科在读，土木工程.

Shi jieyang，大连理工大学，辽宁省大连市甘井子区凌工路2号大连理工大学，116024.

Wang hui， 大连理工大学，辽宁省大连市甘井子区凌工路2号大连理工大学，116024.

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