二重极限与累次极限的关系

摘 要： 极限概念是高等数学的最基本概念之一。一方面，高等数学的其他基本概念无非是这样或那样的极限，都需要用极限概念来表达。另一方面，高等数学中非常重要的微分运算与积分运算的引进和讨论都要借助极限这个工具。用数学作为描述自然现象的工具，极限刻画了变量的趋势。本文从一道思考题谈起，再谈二重极限和累次极限的定义，最后谈谈二者的联系。

关键词： 极限 二重极限 累次极限

在我院所用的《工科高等数学》教材中，有这样一道思考题：若f（x，y）存在，则f（x，y）=［f（x，y）］对吗？反之，是否成立?参看教材，我们发现，教材只对二元函数的极限（即二重极限）做了简单介绍，对累次极限并未涉及，所以学生无法解答此题。由于教学内容及课时的安排，教师也不可能对累次极限及二重极限和累次极限的关系作详细介绍。下面，我从二者的定义谈起，力求在定义和定理的正确灵活运用方面，对读者有所帮助。

一、二重极限与累次极限的概念

1.二重极限

定义1：设f为定义在D?奂R上的二元函数，P为D的一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给的正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U（P;δ）∩D时，都有｜f（P）-A｜<ε，则称f在D上当P→P时，以A为极限，记作f（P）=A。在对于P∈D不致产生误解时，也可简单写作f（P）=A。当P，P分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=A。

在研究的极限f（x，y）中，两个自变量x、y同时以任何方式趋于x、y，这种极限也称为重极限。如果x与y依一定的先后顺序相继趋于x与y时f的极限，这种极限称为累次极限。

2.累次极限

定义2：设E，E?奂R，x是E的聚点，y是E的聚点，二元函数f在集合D=E×E上有定义。若对每一个y∈E，y≠y存在极限f（x，y），由于此极限一般与y有关，因此记作φ（y）=f（x，y），而且进一步存在极限L=φ（y），则称此极限为二元函数f先对x（→x）后对y（→y）的累次极限，并记作L=f（x，y）或记作L=f（x，y）。

二、二重极限与累次极限间的关系

1.二者间没有必然关系

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在没有必然的蕴含关系。我们来看两个例子。

例1：设f（x，y）=，它关于原点的两个累次极限分别为==（y-1）=-1与==（1+x）=1。当沿斜率不同的直线y=mx，（x，y）→（0，0）时，所得极限也不同，因此该函数的重极限不存在。

例2：设f（x，y）=xsin+ysin，它关于原点的两个极限都不存在。因为对任何y≠0，当x→0时f的第二项不存在极限。同理，对任何x≠0，当y→0时f的第一项也不存在极限，但是由于 ｜xsin+ysin｜≤｜x｜+｜y｜，故按定义1知道f的重极限存在，且f（x，y）=0。

以上两道例题，例1说明两个累次极限存在且不相等，二重极限不存在；例2说明了两个累次极限都不存在，可二重极限存在。

2.二者在一定条件下的联系

定理：若f（x，y）在点（x，y）存在重极限f（x，y）与累次极限f（x，y），则它们必相等。

证明：设f（x，y）=A，则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当P（x，y）∈U（P;δ）时，有｜f（x，y）-A｜<ε（1），另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0＜｜x-x｜＜δ（2）的x，存在极限f（x，y）=φ（x）（3），回到不等式（1），让其中y→y，由（3）可得｜φ（x）-A｜≤ε（4），故由（2）、（4）证得φ（x）=A，即 f（x，y）=f（x，y）=A。

由此定理可导出两个便于应用的推论。

推论1：若累次极限f（x，y）和f（x，y），重极限f（x，y）都存在，则三者相等。

推论2：若累次极限f（x，y）与f（x，y）存在但不相等，则重极限f（x，y）必不存在。

上述定理保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论。推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定重极限的存在性。

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.

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［4］洪毅.数学分析［M］.广州：华南理工大学出版社，2001.

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［7］侯风波.工科高等数学［M］.沈阳：辽宁大学出版社，2006.

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