摘要：文章通过对经典马尔萨斯模型的修正，以及根据修正后的马尔萨斯模型对黑龙江省未来50年的总人口数进行了预测。通过分析预测数据得到控制人口对黑龙江省经济的快速发展、居民文化素质的提高是必要的。
关键词：马尔萨斯模型；修正模型；人口预测
一、引言
人口问题已成为全球政治经济发展格局中的一个重要组成部分，它对人类社会的发展有着越来越重要的意义，对世界各国的社会经济发展有着越来越大的影响。人口预测作为一项基础工作，对分析人口变动的原因，控制人口自身的发展，保证和促进人口、社会、经济、资源环境相互协调，实现可持续发展都具有非常重要的意义和作用。
二、对常用预测模型的评价
目前，人口预测模型有很多，主要有一般预测方法（线性回归模型、指数模型、幂函数模型、自然回归模型等）、灰色系统GM（1，1）模型、logistic模型等。每种模型都有自身的特点和适用范围。线性回归模型是将各个时期的人口发展速度看成是不变的，即在人口发展过程曲线上每一点斜率基本是一个定量。如果人口数量在后期的变化受到前期人口数据的影响，且后期的人口数量与前期的人口数量呈一定的线性关系，可以用自然回归模型来预测后期的人口数量。如果人口数量的发展先是缓慢增长，随着时间的推移，增长的速度越来越快，在这种情况下，可以用指数模型来预测。有些人口发展曲线开始时斜率较大（增长速度很快），后期增长比较缓慢，此时应该选择幂函数模型。当然，一般预测方法必须进行F检验，F值大于临界值方可使用，此外方程式只表现在样本资料范围内变量的相关关系，对于内插预测是有效的，而外插预测要看其发展趋势，如果发展趋势适合模型外推，那么预测是比较可靠的。在现实世界中，并不是所有的人口发展都是以简单的线性或非线性曲线来显示，无规律可循或资料不是很全的情况下可以用灰色系统GM（1，1）模型来进行预测。灰色系统GM（1，1）模型克服了最小二乘法对资料的随机波动完全盲目的被动局势，对于预测对象不全和资料波动太大不平稳的人口发展趋势效果较好。但是灰色模型预测的几何曲线往往呈单调递增或递减趋势，对人口总量变化的随机波动则反映较弱。logistic模型考虑到人口的增长是有限的，且提出人口总数的增长规律随着人口数量的增多，人口增长率是逐渐下降的。logistic模型体现了自然生态的平衡，克服了用其他模型预测表现出人口无限增长趋势，其缺点在于短期内人口增长可能受到政策等因素的影响等无法准确描绘。
各种单一模型都有其自身的优点和缺陷，因此，为了避免单一模型预测所带来的局限性，降低预测的误差，以便较好地预测未来人口的实际情况，可以对原始模型进行修正，使模型更符合社会现状，以便提高预测的精度，从而实现模型的优化。为此，本文在传统人口经典模型——马尔萨斯模型的基础上，对其进行了修正，并通过修正后的模型对黑龙江省人口进行了预测，预测效果良好，更符合事实。
三、模型的建立及预测
表1 符号说明
符号 说明 单位
p（t） 第t年的总人口数 万人
b（p，t） 人口出生率 ‰
d（p，t） 人口死亡率 ‰
D（p，t） 人与人之间的冲突对人口增长的调节作用
人口自然增长率 ‰
（一）传统的马尔萨斯模型
马尔萨斯的人口论是人口学的最大流派，他所著的《人口原理》是人口理论最早的代表作。马尔萨斯的人口理论是以两个公理为前提的：第一，食物为人类生存所必须的。第二，两性间的情欲是必然的，且几乎保持现状。从这两个前提出发，马尔萨斯提出，人口在无所妨碍时，为几何级数率增加；生活资料以算术数率增加。值得注意的是，马尔萨斯还特别指出教育对人口增长有抑制作用，受过教育的各人为避免过早地满足于婚嫁的享乐之中，常常是在有经济能力支持一个家庭后才结婚。
设在时刻 （单位以年记）人口为 ，则人口的增长率 由出生率 及死亡率 决定。假定相对于时间 来说， 及 为常数，即有 和 。如果说1000人中每年出生50个小孩，那么统计规律告诉我们，认为2000人中每年出生100个小孩将是最有道理的。换句话说就是出生率与人口成正比。故 ，同样的道理， 。此处 ， 为大于零的常数，并且一般来说 （因为一般来说出生率总是大于死亡率的）。
由上可得：
即 ①
假定在初始时刻 的人口为 ，则从①解出 ，这说明人口是按指数增长的，这即是大家熟知的马尔萨斯人口论。
（二）对马尔萨斯人口模型的修正
1、考虑资源、空间的马尔萨斯修正模型
显然，这个模型是不精确的，因为它忽略了有限的生存资源及空间、生产力水平、文化水平、传统意识、外来文化（“丁克”家庭、空巢家庭）对出生率有重要影响的因素，简单假定了出生率是关于时间的常量。所以有必要修正此模型。当然，若考虑因素过多，对所考虑因素的量化也过于复杂，则模型就会十分复杂，使得求解及分析模型极为困难甚至不可能，这样的模型将失去现实的意义。因此，必须精炼地选取所考虑因素，并对诸因素作尽可能简洁的数量化。
在地球上，人类的生存空间及资源是有限的。人与人之间的竞争将会导致彼此间的冲突，这种冲突又对人口增长起制约和调节作用。以 表示这个作用。在不太长的时间区间里，可视 与 无关，即认为 。从人口 中随机地抽取一员，统计规律显示，他与其他人的冲突次数与 成正比，设为 。从而 是个人彼此间冲突的总次数可估计为 。显然， 是随着冲突的总次数 的增加而增加的，因此，对 的一种很有道理的估计是认为它与 成正比。从而有 。以 记 ，则 ， 及 都是常数。
由以上论述可得：
②
此处的 与①中的 相同。
2、模型的参数估计
我们用最小二乘法（OLS）对该模型进行参数估计，其结果如下：
显然该模型在统计上和结构上都是很好的。
3、模型的参数估计
由 ，通过常微分方程知识可以解得： 。其c为常数，且 ， 。代入附录中的数据得： ，令1990年为第0年，即t=0时， （附录中的数据），解得 。
所以修正后的马尔萨斯模型为： 。
四、对黒龙江省人口的预测
（一）预测结果及分析
1、50年的预测结果（见表2）
表2 未来50年黑龙江省总人口数预测值
年份 总人口数预测值（万人） 年份 总人口数预测值（万人）
2007 3832.13697 2032 4339.428
2008 3841.295777 2033 4383.646
2009 3850.476474 2034 4428.316
2010 3859.679113 2035 4473.44
2011 3868.903746 2036 4519.025
2012 3878.150426 2037 4565.074
2013 3887.419206 2038 4611.592
2014 3896.710137 2039 4658.584
2015 3906.023275 2040 4706.055
2016 3915.35867 2041 4754.009
2017 3941.53 2042 4802.453
2018 3966.322 2043 4851.39
2019 3991.27 2044 4900.825
2020 4016.375 2045 4950.765
2021 4041.638 2046 5001.213
2022 4067.06 2047 5226.451
2023 4092.642 2048 5193.782
2024 4118.385 2049 5161.317
2025 4144.289 2050 5129.056
2026 4170.357 2051 5096.996
2027 4196.589 2052 5065.136
2028 4222.985 2053 5033.475
2029 4249.548 2054 5002.013
2030 4276.277 2055 4970.747
2031 4303.175 2056 4939.676
数据来源：根据修正的马尔萨斯模型预测得
2、数据分析及结果讨论
由以上结果可知：黑龙江省人口发展经历了由快速增长、下降至稳步发展的过程。总体发展特征是：人口规模持续增长，发展速度逐步减慢，在未来五十年中。到2046年人口将超过5000万，但增长率由6.3‰下降为0.56‰，若政府实行相应的人口控制政策。那么黑龙江省人口有望控制在五千万人左右。人口增长对于自然资源的利用，社会经济的发展，生态系统的平衡都有重大影响。因此，我们需要了解人口增长规律，有效地进行控制。这样才能保证国民经济的健康稳定的发展和居民人口素质的提高。
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（作者单位：哈尔滨商业大学）