正定矩阵及矩阵数值特征的研究

摘要：矩阵计算和矩阵分析在计算数学，经济学，控制理论，计算机图形图像处理等领域有着广泛的应用。本文主要研究了矩阵数值特征的估计和正定矩阵的性质及判别法，主要内容如下：（1）基于一些线性代数的基本理论，得到了矩阵最小奇异值的两个估计。 （2）基于一些正定矩阵的理论，推广或改进了一些经典的正定矩阵的性质，给出了正定矩阵谱半径，特征值实部，行列式的估计。

关键词：特征值奇异值正定矩阵算法数值特征

中图分类号：G642文献标识码： A文章编号：1672-1578（2014)3-0063-02

1 引言

对于矩阵特征值和最小奇异值的估计，相关的研究开始较早，已经较为成熟。最近，部分学者采用新的思路对矩阵 A 的奇异值也获得了类似的结论。本文将依然对矩阵特征值和最小奇异值的估计作深入的研究，最终获得了矩阵特征值和最小奇异值的几个估计。

另一方面，正定矩阵的研究一直是矩阵分析领域的宠儿。它在实际中有广泛的应用，如在投入产出的经济数学模型以及多种统计线性模型理论中，都得到了很好的应用，正定矩阵的研究起源于对二次型和Hermitian型的研究。本文在所列参考文献的基础之上，对正定矩阵的性质做进一步的研究，得到了正定矩阵对称积，实部的估计，谱半径的估计以及行列式估计的一些新结果。

2 矩阵数值特征

2.1矩阵特征值的估计

众所周知，在稳定性理论中，系数矩阵A的特征值分布对于常系数线性系统和非线性自治系统平稳位置的稳定性起着极重要的作用。若A仅有负实部的特征值，则称A为稳定的，反之，则称A为不稳定的。判断A是否是稳定矩阵的方法有很多，如Routh-Hurwitz，李亚普诺夫等方法。然而对于阶数较大的矩阵，上面的方法是比较复杂的，故寻求A是稳定矩阵的简捷判据是有必要的。在这一节中，我们先给出TD 矩阵的定义，在此基础之上我们得到了TD矩阵特征值的估计。

定理2.1.1设M∈Mn（C），并且M被写成如下形式

M=Ak×kBkx（n-k）

C（n-k）×kD（n-k）×（n-k），（1≤k≤n-1）

令H=（M+M·）∈TDn，则我们有

-≤Reλ≤+

例2.1.1让我们考虑如下常系数线性微分方程组

=Mx=-5 31

-

-1-401

-1

-61

1

-0 -3x

其中M是系数矩阵。M的准确特征值为λ1=-4.3444-2.4982i，λ2=-4.3444+2.4982i，λ3=-5.8992，λ4=-3.4121。最终我们有-7.0769≤Reλ≤-1.9231。所以系统在平衡位置x=0是渐进稳定的。

上面我们得到了一类特殊矩阵—TD矩阵的特征值估计，于是，我们理所当然的要思考，对于一般的复矩阵，我们是否可以重现同样的估计？事实证明我们的设想是成立的，下面我们来看看对于任意矩阵的特征值估计。

定理2.1.2设M∈Mn（C）， 则M的所有特征值都位于如下一个圆盘之中

Z∈C∶

Z-

≤

例2.1.2设M= 232

1034

3 61，我们计算M的特征值为

λ1=11.0000，λ2=-2.0000，λ3=-3.0000。我们可得M的所有特征值都位于如下一个圆盘之中Z∈C∶Z-2≤9.2839

2.2矩阵奇异值的估计

矩阵的奇异值估计，尤其是最小奇异值的估计，是学术圈中长期投入的一个领域，在理论和应用上都有很重要的意义。相关领域的学术成果非常成熟，例如对于严格对角占优矩阵，Varah在文中得到了一个优秀的估计。对于弱对角占优矩阵，电子科技大学的黄廷祝教授在文中，得到了矩阵最小奇异值的一个优秀的估计，并给出了算例验证了所得结果的优越性。在这节中，我们得到了最小奇异值的两个新的估计，并给出了一些数值算例来验证我们所得结果的有效性。

定理2.2.1设M∈Mn（C），σ是M的任意奇异值，则

-≤σ≤||M||F

定理2.2.2设A=（ɑij）∈Mn（C）是非奇异的，并且令

M=maxɑij，则 σn（A）≥

例2.2.1设A=10 1 2

220 3

20 110，不难计算A的行列式为1214，我们计算A的最小奇异值的准确值为σ3（A）=2.4909≥2.0608。

例2.2.2设A=0.72 0.5 0.4

0.5 10.6

0 0.51，显然，A为Hessengerg矩阵，不难计算A的行列式为0.3750，我们计算A的最小奇异值的准确值为σ3（A）=0.2977≥0.0625。

例2.2.3设A=10 2

-2 2，我们计算A的最小奇异值的准确值为σ3（A）=2.3246≥2.2678。

例2.2.4设A=10 0 0

4 2 0

1 1 6，不难计算A的行列式为120， A的最小奇异值的准确值为σ3（A）=1.8285≥1.6780。

3 正定矩阵的性质

我们知道，两个对称矩阵A和B的复合AB或BA一般不是对称的，但是他们的对称积S=AB+BA必定是对称的，本节首先推广了中以前的定理，然后得到了正定矩阵实部的估计，谱半径的估计以及行列式估计的一些新结果，为此我们需要以下引理。

引理3.1 Hermitian 矩阵是半正定的，当且仅当它的所有特征值都是非负的，它是正定的，当且仅当它的所有特征值都是正的。

引理3.2 Mn（C）中所有正定矩阵构成的集合的边界点是半正定矩阵，但不是正定矩阵。

在统计线性模型中，凡线性模型需给予数值答案，终究是求解线性代数方程组，而在求解线性代数方程组时常用迭代法，常用的迭代法有Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代，SOR迭代，而判断这三种迭代是否收敛完全取决于迭代矩阵的谱半径；在控制理论中，若线性定常离散系统自由运动的状态方程为x（k+1）=Gx（k），则系统在平衡状态xe=0渐进稳定的充分必要条件是系统矩阵G的谱半径ρ（G）<1。然而不易计算出谱半径的准确值，因此在实际应用中常需要给出估计。

定理3.1设A∈（n，Ⅲ），则

ρ（A）≤

其中λ（S）为A的对称分量S=的最大特征值，R=。

例3.1设A=2 12

-141

1-23其对称分量为SA=2 1 1.5

0 4-0.5

1.5 -0.5 3

易知SA∈P（n，Ⅰ），所以A∈P（n，Ⅲ）。因此SA的最大特征值为2λ（S）=4.4593。最终发现定理3.1对此例的估计是有其优越性的。

定理3.2 设H=AB

BTC∈P（n，Ⅲ）且C=CT。对于任何

P∈Rm×n，若AP=ATP，则恒有 detH≤detA·det（C+PTB+BTP+PTAP）并且等号成立的条件是AP+B=0。

例3.2 设H=6-4-1

4 5 0

-10 5000

000

300

003

000

000 412

131

213

我们将H按照上面形式进行分块，则不难验证H满足定理3.2的条件，同时我们可以找到矩阵P=000

000

-0.6 0.0001 0.0001，最终可以发现定理3.2的估计是有其优越性的，当然，这取决于矩阵P的选择。对于不同的P，可以得到不同的估计，这样大大提高了估计的灵活性。

定理3.3 设A∈P（n，Ⅴ），则

≤Reλ（A）≤

其中λ（SA+ATS），λ（S）分别为SA+ATS和S的最小特征值，λ（SA+ATS）分别为SA+ATS和S的最大特征值。

例3.2 设A=110

340

001，计算可得SA+ATS∈P（n，Ⅰ），最终发现定理3.3的估计是有效的。

4 结语

随着相关领域的科学技术和应用需求的飞速发展，矩阵分析和矩阵计算在计算数学，经济学，计算机图形图像处理等领域扮演着越来越重要的角色。本文对在计算数学中有着重要作用特征值，奇异值和正定矩阵进行了研究.其主要内容通过前面的阐述已经让读者可以有大概的框架和部分细节，最后本文简单总结为：第二章主要研究了矩阵特征值和奇异的估计问题，第三章主要是得到了正定矩阵的一些性质。

参考文献：

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[7]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:科学出版社，2007.

作者简介：刘浪，女，1979年12月出生，汉族，湖南省湘潭人，学历：硕士，职称：讲师；主要研究方向：数学课程与教学论。

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